Querido Ndugu,

El mundo ha cambiado. Lo siento en el agua, lo siento en el aire. Mucho se perdió entonces. Pero nadie queda ahora, para recordarlo. Así es como empieza la versión doblada a español del Señor de los Anillos: La Comunidad del anillo. Aunque la segunda parte no es aún cierta (todavía queda mucha gente que lo recuerda), la primera parte es claramente verdad. En los últimos años el mundo ha cambiado drásticamente.

Mi abuela hace ya algunos años nos contaba que cuando era pequeña su propia abuela la decía, poco antes de morir, “ay hija, lo que verán tus ojos”. En aquella época, supongo, ya se veían cambios inimaginables en el horizonte. Y la revolución estaba en realidad por llegar.

Por poner otro ejemplo, nuestro querido humorista Gila decía en sus memorias a finales de los 90 (del siglo XX) que era realmente sorprendente lo rápido que cambiaba todo “últimamente”. Su infancia, decía, había sido prácticamente igual que la infancia de su padre, y esta a la vez, muy similar que la del suyo. Sin embargo, en el mundo de hoy en día, la infancia o la adolescencia de dos hermanos cuya edad dista solo un puñado de años es muy, muy diferente.

Y es que en las últimas décadas, este mundo en el que vivimos, esta tierra nuestra por la que Galileo y otros grandes lucharon para que todos consideráramos redonda, esta gran pelota casi perfecta en la que vivimos (comparativamente más perfecta que una pelota de ping pong), es en realidad plana otra vez.

Y no porque algún científico visionario nos haya salido con una nueva teoría revolucionaria, sino porque nosotros mismos nos hemos encargado de ir, poco a poco, aplastándola cada vez más, hasta que la pobre, exhausta de luchar contra nuestros martillazos, ha terminado cediendo.

Hoy podemos hacer cosas impensables hace unos cuantos años. Podemos comprar entradas del cine desde casa. Podemos ver si el hotel de California que acabamos de reservar está muy lejos del aeropuerto y comprobar los horarios del metro. Y otra infinidad de ejemplos que cualquier teclario puede decir.

Por ejemplo, yo descubrí que el mundo era plano cuando me senté delante del ordenador una tarde pensando que quería ir a bucear al arrecife de coral australiano (ya se sabe; iba a un congreso allí, y quise aprovechar el viaje…). Pero no sabía nada más; simplemente sabía que en Australia había sitios espectaculares para bucear, y yo quería verlos. Tras una tarde delante del ordenador, sabía perfectamente dónde estaba el arrecife, cuáles eran los mejores sitios para ir, qué aeropuerto era el más cercano, y tenía contratado un viaje de tres días y el hotel.

Sin embargo, estos ejemplos cotidianos son solo la superficie de este aplanamiento. Y explicar eso es el objetivo del libro “The World is Flat” de Tomas L. Friedman. Hacer ver al lector que hoy en día el portátil en el que escribes las entradas de tu blog tiene piezas creadas en un buen puñado de países de todos los continentes, que fueron previamente diseñadas en otros, que se ensamblaron en otro distinto, y que tú, consumidor, pediste por internet para que te fuera enviado a tu casa.

También pone de manifiesto la enorme cantidad de trabajo que hoy en día están llevando a cabo ciudadanos de otros paises distintos, especialmente India y China. Y cómo toda esa gente está, poco a poco, responsabilizándose de cada vez más y más tareas que, de otra forma, habríamos hecho nosotros de forma local. Un ejemplo que me llamó mucho la atención es cómo algunas compañías contratan a jóvenes indios para que atiendan llamadas al servicio técnico de ciudadanos estadounidenses. Les dan un curso para adaptar su acento indio al americano, les explican los sistemas, y les ponen a contestar preguntas a miles de kilómetros, pagándoles una fracción de lo que les costaría el mismo servicio en Michigan.

Lo que más me ha gustado ha sido un aviso para los padres, que creo que resume perfectamente la globalización. Cuando éramos pequeños y no queríamos terminarnos la cena, nuestros padres nos recordaban la cantidad de niños como nosotros que estarían dispuestos a cualquier cosa por esa comida que nosotros no queríamos. Hoy por hoy, dice el autor, el mismo escenario puede darse en otro contexto. Si tu hijo (cuando lo tengas), no estudia o no hace los ejercicios, dile “Hijo, estudia. En China hay un montón de niños como tú, dispuestos a quitarte tu puesto de trabajo”.

Y tú, ¿dónde estabas cuando el mundo se aplanó?

Nota: recomendable

Querido Ndugu,

Aún recuerdo cuando, en mi época de instituto, saltó la noticia de que el último teorema de Fermat había sido demostrado. En una revista medio científica que cayó en mis manos venía un resumen de la demostración que intenté leer… No me fue mal. Entendí el primer párrafo.

La historia de Fermat es curiosa. Era en realidad una especie de juez en Francia que, por obligación de su profesión, no entablaba mucha relación con sus vecinos para poder ser imparcial en su trabajo. Por lo tanto, todo el tiempo libre que tenía lo dedicaba a las matemáticas, y no se le dió nada mal.

Dedicó gran parte de su vida a cartearse con grandes matemáticos de la época. Parece ser que el hombre no era demasiado “querido”, porque se divertía lanzando retos en sus cartas, retando a sus destinatarios a demostrar proposiciones que él decía haber demostrado. Y muchos de ellos, que ya se habían hecho un nombre en la historia, eran incapaces de dar con las soluciones.

Entre los libros que leyó, se encontraba el Aritmética de Diofanto de Alejandría. En sus márgenes fue dejando también anotaciones que resultaron tan interesantes que después de su muerte, su hijo decidió publicar una edición “anotada” del libro donde aparecían todas las notas marginales de su padre.

Si contamos todas las proposiciones que hizo durante su vida en su correspondencia y las notas en márgenes de libros, el resultado fue un buen puñado de propiedades que Fermat dejó sin demostrar (o al menos sin enseñar la demostración).

Con los años, los matemáticos fueron ¿re?demostrando todas y cada una de ellas. Pero había una que se resistió más que las demás. Tanto, que fue la única afirmación que quedó sin demostrar y que pasó a ser conocida como “el último teorema de Fermat”. Los matemáticos tenían tanta fé en él (nunca se equivocó en sus afirmaciones), que lo llamaban teorema, a pesar de no haber sido demostrado.

El enunciado del teorema se encontraba, precisamente, en el márgen del libro Aritmética, y decía así:

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.

Que básicamente, puede traducirse en:

Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o escribir una cuarta potencia como la suma de dos cuartas potencias o escribir, en general, cualquier potencia mayor que dos como la suma de dos potencias iguales.

O, expresado en términos matemáticos, que la ecuación aⁿ+bⁿ = cⁿ no tiene solución para ningún número natural cuando n es mayor que 2.

Fermat escribió esa proposición en el márgen, seguido de un desconcertante:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.

que traducido significa…

Poseo una prueba en verdad maravillosa para esta afirmación a la que este margen viene demasiado estrecho.

La demostración, como ya digo, la buscaron los matemáticos durante unos 350 (desde sus propios escritorios, e includo revolviendo los papeles que dejó Fermat al morir…). Por fin, en 1994 Andrew John Wiles la encontró.

El libro de Simon Singh “El Enigma de Fermat” cuenta, precisamente, la historia del descubrimiento de la demostración. Empieza describiendo el problema desde varios puntos de vista, su origen, cómo distintos matemáticos intentaron resolverlo y, finalmente, cómo Wiles grabó su nombre en la historia de las matemáticas demostrando por fin el, ahora sí correctamente llamado teorema.

El libro merece la pena leerlo. En la parte “histórica” no relacionada con la demostración de Wiles se aprenden un montón de anécdotas sobre la vida de ciertos matemáticos, y te empapas de esa pasión por esta área del saber humano que muchos odian, así como otras curiosidades matemáticas. La parte en la que se describe cómo Wiles llegó a la demostración es aún más apasionante, pues te hace ver que llegar a una demostración no es para nada fácil, y aprendes cuál es el proceso que las publicaciones matemáticas siguen para validar una demostración antes de su publicación y aceptación definitiva.

Nota: recomendable

Querido Ndugu,

Cuando en 1931 Gödel publicó el artículo en el que exponía su teorema (el ahora conocido como “teorema de incompletitud de Gödel“), los matemáticos se revolucionaron, porque “atacaba” los verdaderos cimientos sobre los que se monta la matemática: los axiomas.

Rápidamente explicado, los axiomas son aquellas afirmaciones que se cumplen sin necesidad de demostración. En cada área concreta de las matemáticas existe un conjunto de axiomas que se dan por válidos y unas reglas de transformación de los mismos de tal forma que las “fórmulas” derivadas de esos axiomas siguiendo las reglas de transformación siguen cumpliéndose en el dominio.

Básicamente, la pregunta que se hacían los matemáticos a principio de siglo era si en todas las áreas de la matemática, los axiomas que se daban como válidos eran “consistentes” y “completos”. En cuanto a consistentes se refiere a que mediante dos cadenas de transformaciones distintas a partir de los axiomas no se puede llegar a afirmaciones contradictorias. El sistema es completo si a partir de los axiomas se pueden derivar/demostrar todas las proposiciones verdaderas en el dominio. De hecho, lo que pretendían era demostrar que se podían derivar todas los teoremas en un número finito de pasos. Sólo así podríamos dormir tranquilos, sabiendo que los cimientos sobre los que se asientan todos los teoremas no escoden trampas. Es más, solo así los matemáticos pueden garantizar que la demostración que buscan de una conjetura (como la famosa conjetura de Goldbach) realmente existe.

En esas estaban cuando llegó Gödel y demostró que en realidad se pueden encontrar afirmaciones verdaderas pero que no pueden demostrarse. Entonces, pensaréis, ¡añadamos más axiomas para poder hacerlo! Pues no, porque nuestro querido Gödel también demostró que si extendemos los axiomas de la aritmética para conseguir demostrar esa afirmación, aún así, siempre podremos construir otra fórmula distinta que no podremos demostrar. Es decir, por muchos axiomas que añadamos a la aritmética, siempre podremos encontrar fórmulas verdaderas no demostrables (en realidad el teorema tiene que ser enunciado con mucho más cuidado de lo que yo lo he hecho aquí para no malinterpretarlo).

Una de las cosas que más me llamaba la atención del teorema es cómo alguien puede demostrar tal cosa. Mis conocimientos matemáticos y de sus demostraciones se limitan a la reducción al absurdo, al principio de inducción y a poco más. No veía cómo con esas herramientas podría nadie demostrar algo como “La afirmación S no es demostrable”.

Pues bien, si tú estás en la misma situación, el libro de Ernst Nagel y James R. Newman, escrito allá por 1979, es para tí. En poco más de 100 páginas que se leen casi de un tirón (un vuelo transoceánico es más que suficiente), descubres el proceso que siguió Gödel para demostrar su teorema. Los autores explican con claridad el proceso y, aunque omiten algunos detalles para no sobrecargar a los no matemáticos como yo, se llega a comprender al menos lo fundamental. Desgraciadamente, hay una parte de la argumentación en la que me perdí, no sé si fue debido a mi incapacidad, o porque los autores ignoraron un punto importante para evitar liarnos más; supongo que será culpa mía. Una pena.

No obstante, con este libro al menos he descubierto que el modo de hacer demostraciones que aprendí en las clases de secundaria y los primeros cursos de ingeniería están muy lejos de las técnicas utilizadas por los matemáticos en ciertas áreas. Y ya sólo por eso, merece la pena.

Hoy más que nunca, sólo sé que no se nada.

Nota: recomendable.

P.D.: Quiero seguir intentando entender ese punto oscuro… En mi librería ya me está esperando “The proof and paradox of Kurt Gödel” de Rebecca Goldstein. Ya os contaré si me sirve para algo o no.

Querido Ndugu,

Imagina que te digo que en italiano “¡Hola mundo!” se dice “Ciao mondo!”. O que en latín es “Ave mvnde!”. O que en turco es “Merhaba Dünya!”. O que en bosnio es “Zdravo Svijete!”. ¿Dirías entonces que ya sabes italiano, latín, turco o bosnio?.

Bueno, pues resulta que en el mundo de la programación, un poco sí pasa eso. Cuando uno empieza a aprender un lenguaje de programación nuevo, casi invariablemente, su primer programa es uno que simplemente muestra por pantalla la famosa frase “¡Hola mundo!”. Y con eso, hasta el infinito y más allá.

¿Se puede ser más optimista? Por un lado, tenemos una aplicación con un estado de ánimo envidiable que nada más nacer, feliz, saluda al mundo. Por otro lado, tenemos al programador que, al ver ese ataque de felicidad, llega a pensar que lo difícil ya está hecho, que si es capaz de tener un programa funcionando, puede hacer cualquier cosa.

Hay incluso recopilaciones del famoso programita en un montón de lenguajes distintos (por ejemplo aquí o aquí, este último incluso con la frase traducida a 63 lenguajes “humanos”). A modo de “piedra Rosseta”, estas recopilaciones parecen querer conservar para la posteridad todos esos lenguajes para que, en el hipotético caso de nuestra completa destrucción, alguien pueda ser capaz de averiguar, gracias a las equivalencias, lo que hace todo nuestro software.

¡Pues no! ¡Todo eso no es cierto! ¡Dejémonos de optimismos!

Si sabes decir “hola”, no significa que sepas decir “adiós” o “hasta luego”, y mucho menos “pienso luego existo” o “el hombre está condenado a ser libre”. No.

Si eres capaz de decir “hola”, tienes la demostración del caso base. Pero aquí no hay paso inductivo. No hay “siguiente programa”. Ni siguiente del siguiente. No puedes demostrar que eres capaz de pasar de un programa N dado al siguiente. No. Nunca llegarás al infinito por esa vía.

Ya sufrieron de ese mismo optimismo intentado demostrar el teorema de Fermat. Si resulta que la ecuación cⁿ = aⁿ + bⁿ no tiene soluciones no triviales para n > 2, basta con demostrarlo para n = 3, y luego ser capaz de ir de n a n+1. No funcionó. Así no era. Nunca llegarías al infinito de esa forma.

Por eso, desde aquí, grito al viento. ¡Estudiantes, si habéis entendido el if, aún no sabéis programar!. ¡Programadores, si habéis conseguido crear una tabla en una base de datos SQL Server, no significa que sepáis bases de datos! ¡Jefes, si vuestros empleados han creado un módulo en Dot Net Nuke, no significa que sean capaces de hacer un portal a tu gusto!

Saber echar cosas en una sartén no significa que sepas hacer paella.