El teorema de Gödel (2008-20)

Querido Ndugu,

Cuando en 1931 Gödel publicó el artículo en el que exponía su teorema (el ahora conocido como “teorema de incompletitud de Gödel“), los matemáticos se revolucionaron, porque “atacaba” los verdaderos cimientos sobre los que se monta la matemática: los axiomas.

Rápidamente explicado, los axiomas son aquellas afirmaciones que se cumplen sin necesidad de demostración. En cada área concreta de las matemáticas existe un conjunto de axiomas que se dan por válidos y unas reglas de transformación de los mismos de tal forma que las “fórmulas” derivadas de esos axiomas siguiendo las reglas de transformación siguen cumpliéndose en el dominio.

Básicamente, la pregunta que se hacían los matemáticos a principio de siglo era si en todas las áreas de la matemática, los axiomas que se daban como válidos eran “consistentes” y “completos”. En cuanto a consistentes se refiere a que mediante dos cadenas de transformaciones distintas a partir de los axiomas no se puede llegar a afirmaciones contradictorias. El sistema es completo si a partir de los axiomas se pueden derivar/demostrar todas las proposiciones verdaderas en el dominio. De hecho, lo que pretendían era demostrar que se podían derivar todas los teoremas en un número finito de pasos. Sólo así podríamos dormir tranquilos, sabiendo que los cimientos sobre los que se asientan todos los teoremas no escoden trampas. Es más, solo así los matemáticos pueden garantizar que la demostración que buscan de una conjetura (como la famosa conjetura de Goldbach) realmente existe.

En esas estaban cuando llegó Gödel y demostró que en realidad se pueden encontrar afirmaciones verdaderas pero que no pueden demostrarse. Entonces, pensaréis, ¡añadamos más axiomas para poder hacerlo! Pues no, porque nuestro querido Gödel también demostró que si extendemos los axiomas de la aritmética para conseguir demostrar esa afirmación, aún así, siempre podremos construir otra fórmula distinta que no podremos demostrar. Es decir, por muchos axiomas que añadamos a la aritmética, siempre podremos encontrar fórmulas verdaderas no demostrables (en realidad el teorema tiene que ser enunciado con mucho más cuidado de lo que yo lo he hecho aquí para no malinterpretarlo).

Una de las cosas que más me llamaba la atención del teorema es cómo alguien puede demostrar tal cosa. Mis conocimientos matemáticos y de sus demostraciones se limitan a la reducción al absurdo, al principio de inducción y a poco más. No veía cómo con esas herramientas podría nadie demostrar algo como “La afirmación S no es demostrable”.

Pues bien, si tú estás en la misma situación, el libro de Ernst Nagel y James R. Newman, escrito allá por 1979, es para tí. En poco más de 100 páginas que se leen casi de un tirón (un vuelo transoceánico es más que suficiente), descubres el proceso que siguió Gödel para demostrar su teorema. Los autores explican con claridad el proceso y, aunque omiten algunos detalles para no sobrecargar a los no matemáticos como yo, se llega a comprender al menos lo fundamental. Desgraciadamente, hay una parte de la argumentación en la que me perdí, no sé si fue debido a mi incapacidad, o porque los autores ignoraron un punto importante para evitar liarnos más; supongo que será culpa mía. Una pena.

No obstante, con este libro al menos he descubierto que el modo de hacer demostraciones que aprendí en las clases de secundaria y los primeros cursos de ingeniería están muy lejos de las técnicas utilizadas por los matemáticos en ciertas áreas. Y ya sólo por eso, merece la pena.

Hoy más que nunca, sólo sé que no se nada.

Nota: recomendable.

P.D.: Quiero seguir intentando entender ese punto oscuro… En mi librería ya me está esperando “The proof and paradox of Kurt Gödel” de Rebecca Goldstein. Ya os contaré si me sirve para algo o no.